【題目】某商場柜臺銷售某種產品,每件產品的成本為10元,并且每件產品需向該商場交a元(3≤a≤7)的管理費,預計當每件產品的售價為x元(20≤x≤25)時,一天的銷售量為(x﹣30)2件. (Ⅰ)求該柜臺一天的利潤f(x)(元)與每件產品的售價x的函數關系式;
(Ⅱ)當每件產品的售價為多少元時,該柜臺一天的利潤f(x)最大,并求出f(x)的最大值g(a).
【答案】解:(Ⅰ)f(x)=(x﹣30)2(x﹣10﹣a),20≤x≤25 (Ⅱ)f'(x)=2(x﹣30)(x﹣10﹣a)+(x﹣30)2=(3x﹣2a﹣50)(x﹣30).
令f'(x)=0,則 或x=30,
∵
∴①若 ,即3≤a≤5時,f'(x)≤0,x∈[20,25],
∴f(x)在[20,25]上是減函數.
∴ =100(10﹣a)=1000﹣10a
②若5<a≤7時,
當 時,f'(x)>0,此時f(x)在 是增函數;
當 時,f'(x)<0,此時f(x)在 是減函數.
∴ =
∴當3≤a≤5時,售價為20元時利潤最大,最大利潤g(a)為1000﹣10a;
當5<a≤7時,售價為 元時利潤最大,最大利潤g(a)為
【解析】(Ⅰ)求出每件產品的利潤,乘以價格得到利潤L(萬元)與每件產品的售價x的函數關系式;(Ⅱ)求出利潤函數的導函數,由a的范圍得到導函數零點的范圍,分類討論原函數在[9,11]上的單調性,并求出a在不同范圍內的利潤函數的最值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知A(4,﹣3),B(2,﹣1)和直線l:4x+3y﹣2=0.
(1)求在直角坐標平面內滿足|PA|=|PB|的點P的方程;
(2)求在直角坐標平面內一點P滿足|PA|=|PB|且點P到直線l的距離為2的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)畫出散點圖并判斷是否線性相關;
(2)如果線性相關,求線性回歸方程;
(3)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如圖所示.
成績分組 | 頻數 | 頻率 |
(160,165] | 5 | 0.05 |
(165,170] | ① | 0.35 |
(170,175] | 30 | ② |
(175,180] | 20 | 0.20 |
(180,185] | 10 | 0.10 |
合計 | 100 | 1 |
(1)請先求出頻率分布表中①、②位置相應的數據,再畫出頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學生,該高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受A考官的面試,求第四組至少有一名學生被考官A面試的概率?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,設Ox、Oy是平面內相交成45°角的兩條數軸, 、 分別是x軸、y軸正方向同向的單位向量,若向量 =x +y ,則把有序數對(x,y)叫做向量 在坐標系xOy中的坐標,在此坐標系下,假設 =(﹣2,2 ), =(2,0), =(5,﹣3 ),則下列命題不正確的是( )
A. =(1,0)
B.| |=2
C. ∥
D. ⊥
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形, , 平面, , , , 是中點.
(I)求證:直線平面.
(II)求證:直線平面.
(III)在上是否存在一點,使得二面角的大小為,若存在,確定的位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在(0, )上的函數f(x),f′(x)是它的導函數,且恒有f(x)<f′(x)tanx成立,則( )
A.f( )> f( )
B.f(1)<2f( )sin1
C.f( )>f( )
D. f( )<f( )
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