Question

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以弦為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)符合題意.

【解析】

（1）利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到到準(zhǔn)線的距離相等即可求出的值，即可求出拋物線方程.

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，依題設(shè)過(guò)點(diǎn)直線的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程由根與系數(shù)的關(guān)系可得；依題可得,若能得出關(guān)于的成立的恒等式，則滿足條件的點(diǎn)存在，否則就不存在.

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，

所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，又,

由拋物線的定義可得，所以，

所以拋物線的方程為：.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使以弦為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，

設(shè)過(guò)點(diǎn)直線的直線的方程為，

聯(lián)立方程得，

設(shè)，則，；

因?yàn)辄c(diǎn)總是在以弦為直徑的圓上，

所以，所以

由，

所以

即

當(dāng)或，等式顯然成立；

當(dāng)或時(shí)，則有

即，則，

即

所以當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值等式都成立，

將代入得，

所以存在點(diǎn)使以弦為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).