【題目】如圖所示的幾何體中,.
(1)求證:平面ABCD;
(2)若,點F在EC上,且滿足EF=2FC,求二面角F—AD—C的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
(1)在中,根據(jù)已知的邊、角條件運用余弦定理可得出,再由
,
得出平面ABE.,由線面垂直的性質(zhì)得,再根據(jù)線面垂直的判定定理得證;
(2)在以B為原點,建立空間直角坐標系,得出點的坐標,求出面的法向量,由(1)得平面ABCD,所以為平面ABCD的一個法向量,再根據(jù)向量的夾角公式求得二面角的余弦值.
(1)在中,
由余弦定理可得
所以,所以所以是直角三角形,.
又,所以平面ABE.
因為平面ABE,所以,因為,
所以平面ABCD.
(2)由(1)知,平面ABE,所以平面平面AEB,在平面ABE中,過點B作,則平面BEC,如圖,以B為原點,BE,BC所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,
則,
因為,所以,易知,
設(shè)平面ADF的法向量為
則
即令則
所以為平面ADF的一個法向量,
由(1)知平面ABCD,所以為平面ABCD的一個法向量.
設(shè)二面角的平面角為,
由圖知為銳角,則
所以二面角的余弦值為.
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【題目】已知是拋物線的焦點,是拋物線上一點,且.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)過點的動直線交拋物線于兩點,拋物線上是否存在一個定點,使得以弦為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在三棱柱中,底面ABC為正三角形,底面ABC,,點在線段上,平面平面.
(1)請指出點的位置,并給出證明;
(2)若,求與平面ABE夾角的正弦值.
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【題目】過拋物線)的焦點F且斜率為的直線交拋物線C于M,N兩點,且.
(1)求p的值;
(2)拋物線C上一點,直線(其中)與拋物線C交于A,B兩個不同的點(A,B均與點Q不重合).設(shè)直線QA,QB的斜率分別為,.直線l是否過定點?如果是,請求出所有定點;如果不是,請說明理由;
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【題目】某地擬在一個U形水面PABQ(∠A=∠B=90°)上修一條堤壩(E在AP上,N在BQ上),圍出一個封閉區(qū)域EABN,用以種植水生植物.為了美觀起見,決定從AB上點M處分別向點E,N拉2條分隔線ME,MN,將所圍區(qū)域分成3個部分(如圖),每部分種植不同的水生植物.已知AB=a,EM=BM,∠MEN=90°,設(shè)所拉分隔線總長度為l.
(1)設(shè)∠AME=2θ,求用θ表示的l函數(shù)表達式,并寫出定義域;
(2)求l的最小值.
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【題目】已知等差數(shù)列的公差不為0,其前項和為,,且,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式及的最小值;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求的值.
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【題目】記Sn為等比數(shù)列的前n項和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求的通項公式;
(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列。
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,,,E為AB的中點將沿直線DE折起到的位置,使平面平面BCDE.
(1)證明:平面PDE.
(2)設(shè)F為線段PC的中點,求四面體D-PEF的體積.
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【題目】已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線 C
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.
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