如圖長方體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，E為延長線上的一點且滿足.
（1）求證：平面；
（2）當為何值時，二面角的大小為.

（1）參考解析；（2）

解析試題分析：（1）依題意建立空間坐標系，假設(shè)點，的坐標，表示相應(yīng)的線段即可得到所對應(yīng)的向量，再根據(jù)向量的數(shù)量積為零，即可得到結(jié)論.
（2）由（1）可得平面的法向量為，再用待定系數(shù)法求出平面的法向量，根據(jù)法向量所夾的銳角的值為.即可得到結(jié)論.
（1）如圖所示建立空間直角坐標系，則A(1，0，0)，C(0，1，0)，設(shè)，
由于，所以，并且，E(1，1，)，           2分

，，，
，
又，
，平面                 6分
（2），
設(shè)平面的法向量為，則， 即，令，
則，.          9分
平面，平面的法向量
，即，解得     12分
當時，二面角的大小為.         13分
考點：1.空間坐標系.2.線面關(guān)系.3.面面關(guān)系.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，直角梯形中，，分別為邊和上的點，且，．將四邊形沿折起成如圖2的位置，使．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，，，，平面⊥平面，是線段上一點，，．
（1）證明：⊥平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中點。
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°，求二面角P-AD-C的正切值；
(3)求證：直線PA與平面PBD所成的角φ為定值，并求sinφ值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，底面，，，分別是棱，的中點，為棱上的一點，且//平面.
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設(shè)與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求證：AB∥平面CDE；
（2）求實數(shù)的值，使得二面角AECD的大小為60°．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

異面直線與上的單位向量分別為，, 且,
則兩異面直線與所成角的大小為________.

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