【題目】如圖,已知四棱錐的底面為直角梯形,平面平面,,,且,,,的中點分別是,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求點到平面的距離.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)連接,,根據(jù)面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定定理,即可證明結(jié)論成立;
(Ⅱ)根據(jù)題意,計算出,,,過點作于點,得到;設點到平面的距離為,根據(jù)等體積法,即可求出結(jié)果.
(Ⅰ)連接,,由題目可知四邊形為正方形,所以.
因為,的中點是,所以.
因為平面平面,平面平面,在平面內(nèi),,
所以平面.
所以.
又因為,所以平面.
因為,的中點分別是,,所以.
所以平面.
(Ⅱ)因為,,
所以,.
所以.
過點作于點,易知,則.
所以在中,由余弦定理得.
則.則.
設點到平面的距離為,則
由三棱錐三棱錐,得,
即,解得.
即點到平面的距離為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值;
(2)是否存在實數(shù),使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值:若不存在,請說明理由.
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【題目】已知點,點在軸負半軸上,以為邊做菱形,且菱形對角線的交點在軸上,設點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點,其中,作曲線的切線,設切點為,求面積的取值范圍.
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【題目】△ABC中,角A,B,C所對應的分別為a,b,c,且(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,若a=2,則△ABC的面積的最大值是( )
A.1B.C.2D.2
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【題目】為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能,從設備生產(chǎn)該零件的流水線上隨機抽取100個零件為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
經(jīng)計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.
(I)為評判一臺設備的性能,從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進行判定(表示相應事件的概率):
①;
②;
③.
判定規(guī)則為:若同時滿足上述三個式子,則設備等級為甲;若僅滿足其中兩個,則等級為乙,若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部都不滿足,則等級為了.試判斷設備的性能等級.
(Ⅱ)將直徑尺寸在之外的零件認定為是“次品”.
①從設備的生產(chǎn)流水線上隨機抽取2個零件,求其中次品個數(shù)的數(shù)學期望;
②從樣本中隨意抽取2個零件,求其中次品個數(shù)的數(shù)學期望.
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【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
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【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
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【題目】某科研小組為了研究一種治療新冠肺炎患者的新藥的效果,選50名患者服藥一段時間后,記錄了這些患者的生理指標和的數(shù)據(jù),并統(tǒng)計得到如下的列聯(lián)表(不完整):
合計 | |||
12 | 36 | ||
7 | |||
合計 |
其中在生理指標的人中,設組為生理指標的人,組為生理指標的人,他們服用這種藥物后的康復時間(單位:天)記錄如下:
組:10,11,12,13,14,15,16
組:12,13,15,16,17,14,25
(Ⅰ)填寫上表,并判斷是否有95%的把握認為患者的兩項生理指標和有關(guān)系;
(Ⅱ)從,兩組隨機各選1人,組選出的人記為甲,組選出的人記為乙,求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率.
附:,其中.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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