Question

【題目】已知點，點在軸負半軸上，以為邊做菱形，且菱形對角線的交點在軸上，設(shè)點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點，其中，作曲線的切線，設(shè)切點為，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，求得菱形中心的坐標，進而由中心為中點，求得點坐標的參數(shù)形式，即可消參求得點的軌跡方程；

（2）利用導數(shù)幾何意義求得點處的切線方程，從而求得點坐標，據(jù)此求得之間的關(guān)系，再結(jié)合，即可表示出面積，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域即可.

（1）設(shè)，菱形的中心設(shè)為Q點，且在軸上，

由題意可得

則又為的中點，因此點，

即點的軌跡為（為參數(shù)且）

化為標準方程為.

（2）設(shè)點，則點的切線方程為.

可得

因此由，可得

又則

即

因此

令，則，故為單調(diào)增函數(shù)，

故可知當時，為關(guān)于的增函數(shù)，

又當時，；當時，.

因此的取值范圍是.