Question

（2013•安慶三模）已知焦點在x軸上的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

12

=1和雙曲線C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點的坐標為（

4 10

5

，

6 5

5

），設(shè)直線l：y=kx+m（其中k，m為整數(shù)）．
（1）試求橢圓C₁和雙曲線C₂ 的標準方程；
（2）若直線l與橢圓C₁交于不同兩點A、B，與雙曲線C₂交于不同兩點C、D，問是否存在直線l，使得向量

AC

+

BD

=

0

，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點（

4 10

5

，

6 5

5

），代入橢圓方程即可得出a，進而得到橢圓的離心率和雙曲線的離心率，再利用雙曲線的離心率計算公式和把已知點的坐標代人雙曲線的方程即可得出m²及n²；
（2）分別把直線y=kx+m與橢圓、雙曲線的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用已知向量

AC

+

BD

=

0

，即可得出k、m，再利用判別式及已知m為整數(shù)即可得出．

解答：解：（1）把點（

4 10

5

，

6 5

5

），代入橢圓

x2

a2

+

y2

12

=1得

( 4 10 5 )2

a2

+

( 6 5 5 )2

12

=1，解得a²=16，a=4．
∴橢圓C₁的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1；
∴c²=a²-b²=4，即c=2．
∴橢圓C的離心率為e1=

1

2

，∴雙曲線C₂的離心率為e₂=2，
由題意可得

e2= 1+ n2 m2 =2 ( 4 10 5 )2 m2 - ( 6 5 5 )2 n2 =1

解得

m2=4 n2=12

，
∴雙曲線C₂為：

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）聯(lián)立

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

消去y化簡整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4k²-48=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），則x1+x2=-

8km

3+4k2

，
則△1=(8km)2-4(3+4k2)(4k2-48)＞0      ①
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

消去y化簡整理得：（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則x3+y4=

2km

3-k2

，
則△2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)＞0      ②
因為

AC

+

BD

=

0

，所以（x₄-x₂）+（x₃-x₁）=0，（y₄-y₂）+（y₃-y₁）=0，
由x₁+x₂=x₃+x₄得：-

8km

3+4k2

=

2km

3-k2

．
所以km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

．
由上式解得k=0或m=0．
當k=0時，由①和②得-2

3

＜m＜2

3

．因m是整數(shù)，
所以m的值為-3，-2，-1，0，1，2，3．
當m=0時，由①和②得-

3

＜k＜

3

．因k是整數(shù)，所以k=-1，0，1．
于是滿足條件的直線共有9條．

點評：本題綜合考查了橢圓、雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程得根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等基礎(chǔ)知識及基本技能，考查了推理能力和計算能力．