【題目】已知函數(shù),斜率為的直線與相切于.

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當實數(shù)時,討論的極值點.

(Ⅲ)證明:.

【答案】(1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,(2) 時,的極小值點為=1,極大值點;當時,無極值點;當時,的極大值點為=1,極小值點;(3)見解析.

【解析】

(1)(1)把f(x)代入h(x),對f(x)進行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)區(qū)間,注意函數(shù)的定義域;(2)已知實數(shù)0a1,對g(x)進行求導(dǎo),令g′(x)=0,得出極值點,這時方程g′(x)=0的兩個根大小不一樣,需要進行討論,然后再確定極大值和極小值點;(3)結(jié)合(1)通過討論x的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

Ⅰ)由題意知:

,

解得:;解得:

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

=

,

,

g′(x)=0x1=﹣1,x2=1,

1、若0﹣11,a0a1,0x1x2,

此時g(x)的極小值為x=1,極大值點x=﹣1,

2、若﹣1=1,a0,即a=,x1=x2=1,則g′(x)0,g(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增區(qū)間,無極值點,

3、若﹣11,a00a,x1x2=1,

此時g(x)的極大值點為x=1,極小值點x=﹣1,

綜上:當a1時,g(x)的極小值點為x=1,極大值點x=﹣1;

a=時,g(x)無極值點為x=1,極小值點x=

0a時,g(x)的極大值點為x=1,極小值點x=﹣1;

Ⅲ)由(Ⅰ)知:

,

,即

時,

,

所以

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