【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線與橢圓交于另一點(diǎn)．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線與直線平行，說(shuō)明見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)短軸長(zhǎng)和橢圓上的點(diǎn)構(gòu)造方程組，求解得到，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可知直線與斜率互為相反數(shù)；假設(shè)方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得兩根之積為，從而求得，同理可得，從而可求得，再利用直線方程求得；根據(jù)兩點(diǎn)連線斜率公式得到，從而可得直線與直線平行.

（Ⅰ）由題意的：，解得，

橢圓的方程為

（Ⅱ）直線與直線平行，證明如下：

由題意，直線的斜率存在且不為零

關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則直線與斜率互為相反數(shù)

設(shè)直線，

設(shè)，

由，消去得

同理

，

又

故直線與直線平行

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，直線與平面所成的角的正切值為3，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面?

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知， ，且是的中點(diǎn)，.

（1）求證：；

（2）求證：平面平面；

（3）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)）、推理（能力指標(biāo)）、建模（能力指標(biāo)）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：

學(xué)生編號(hào)

（1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率；

（2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)不是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為.

（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率；

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，求的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】口袋里裝有編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球，有放回的抽取兩次，記錄兩次取到小球的編號(hào)分別為，.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：

①若，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；

②若，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；

③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.

小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).

（Ⅰ）求小亮獲得玩具的概率；

（Ⅱ）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知

（1）求的軌跡

（2）過(guò)軌跡上任意一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)直線的斜率分別是，試問(wèn)在三個(gè)斜率都存在且不為0的條件下， 是否是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率存在，且為中點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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