Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)解析.

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)二次方程 =0根得情況分類討論：當(dāng)時(shí)，.∴在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩根大小再分類討論對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間， (2)先化簡(jiǎn)不等式消m得，再利用導(dǎo)數(shù)研究，單調(diào)性，得其最小值大于-1，即證得結(jié)果.

詳解：（1）由，得

，.

設(shè)，.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，.

∴在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

令，得，，.

當(dāng)時(shí)，，

在上，，在上，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，

∴由（1）知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

，，且，此時(shí)，，

要證明，只要證明.

∵，∴只要證明成立.

∵，∴.

設(shè)，，

則，

當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且時(shí)，.