【題目】已知函數(shù),,,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為.求證:對(duì)任意的,總有.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)見(jiàn)解析.
【解析】分析:(Ⅰ)首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后由此求出函數(shù)的最小值,只要最小值小于0即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)首先由條件得出的值確定函數(shù)解析式,然后由得到,最后構(gòu)造前后兩個(gè)函數(shù),驗(yàn)證前一個(gè)函數(shù)的最小值大于后一個(gè)函數(shù)的最大值。
詳解:(Ⅰ)易得.
若,有,不合題意;
若,有,
,滿足題設(shè);
若,令,得
∴在上單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增,
則,∴.
又滿足題設(shè),
綜上所述,所求實(shí)數(shù).
(Ⅱ)證明:易得,,
則由題意,得,解得.
∴,從而,即切點(diǎn)為.
將切點(diǎn)坐標(biāo)代入中,解得. ∴.
要證,即證( ,
只需證 ).
令, .
則由,得,
∴在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增,
∴.
又由,得
∴在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,
∴.
∴,
顯然,上式的等號(hào)不能同時(shí)取到.
故對(duì)任意的,總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的中學(xué)生是否愛(ài)好運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計(jì) | |
愛(ài)好 | 40 | 20 | 60 |
不愛(ài)好 | 20 | 30 | 50 |
總計(jì) | 60 | 50 | 110 |
由得,
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
參照附表,得到的正確結(jié)論是 ( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為 “愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
D. 有以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市調(diào)研考試后,某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計(jì) | 110 |
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”;
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào),先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào).試求抽到9號(hào)或10號(hào)的概率.
參考公式及數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是( )
A.1800元
B.2400元
C.2800元
D.3100元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球,分別寫(xiě)有和、“諧”、“校”“園”四個(gè)字,有放回地從中任意摸出一個(gè)小球,直到“和”、“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用,,,代表“和”、“諧”、“!薄ⅰ皥@”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下組隨機(jī)數(shù):
由此可以估計(jì),恰好第三次就停止摸球的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著“邊玩邊學(xué)”的學(xué)風(fēng),他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙:有、、三個(gè)木樁,木樁上套有編號(hào)分別為、、、、、、的七個(gè)圓環(huán),規(guī)定每次只能將一個(gè)圓環(huán)從一個(gè)木樁移動(dòng)到另一個(gè)木樁,且任意一個(gè)木樁上不能出現(xiàn)“編號(hào)較大的圓環(huán)在編號(hào)較小的圓環(huán)之上”的情況,現(xiàn)要將這七個(gè)圓環(huán)全部套到木樁上,則所需的最少次數(shù)為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試,先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為001,002,,599,600從中抽取60個(gè)樣本,如下提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若從表中第6行第6列開(kāi)始向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù),則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)
A. 522B. 324C. 535D. 578
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2﹣y2=1.
(1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn),若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ;
(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.
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