已知函數(shù)在處取得極值,且恰好是的一個(gè)零點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值,并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)、分別是曲線(xiàn)在點(diǎn)和(其中)處的切線(xiàn),且.
①若與的傾斜角互補(bǔ),求與的值;
②若(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求的取值范圍.
(Ⅰ)增區(qū)間,減區(qū)間;(Ⅱ)①,;②.
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)在處取得極值有,以及是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),有,由這兩個(gè)等式列方程組求和,從而確定函數(shù),進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與減區(qū)間;(Ⅱ)①在(Ⅰ)函數(shù)的解析式確定的基礎(chǔ)上,由得,由與的傾斜角互補(bǔ)得到以及可以求出與的值;②根據(jù)這個(gè)條件確定與的關(guān)系,再進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化利用基本不等式或函數(shù)的最值的思想求的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ),
由已知得: 得 3分
解得. 4分
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
依題意,直線(xiàn)和的斜率分別為和,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7b/c/nenbs1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
所以.(*)
①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ee/0/tepmc3.png" style="vertical-align:middle;" />與的傾斜角互補(bǔ),所以,
即,(**) 8分
由(*)(**),結(jié)合,解得,,
即,. 10分
②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a0/9/lm1ly.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,,
所以,
所以 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d1/3/1wy7e4.png" style="vertical-align:middle;" />,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
所以. 14分
考點(diǎn):函數(shù)的圖象、兩條直線(xiàn)的垂直、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、基本不等式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),.
(Ⅰ)求的表達(dá)式;
(Ⅱ)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
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若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足:①;②;③若,且,則成立.則稱(chēng)函數(shù)為“夢(mèng)函數(shù)”.
(1)試驗(yàn)證在區(qū)間上是否為“夢(mèng)函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“夢(mèng)函數(shù)”,求的最值.
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定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5b/f/uegsy3.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.若對(duì),均有,則稱(chēng)函數(shù)為上的夢(mèng)想函數(shù).
(Ⅰ)已知函數(shù),試判斷是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)已知函數(shù)(,)為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)已知函數(shù)(,)為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù),求的最大整數(shù)值.
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已知函數(shù)(是不為零的實(shí)數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線(xiàn)與有公共點(diǎn),且在它們的某一公共點(diǎn)處有共同的切線(xiàn),求k的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求此時(shí)k的取值范圍.
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設(shè)定義在上的函數(shù),滿(mǎn)足當(dāng)時(shí), ,且對(duì)任意,有,
(1)解不等式
(2)解方程
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已知函數(shù)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;求函數(shù)的極值
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已知不等式,
(1)若對(duì)所有的實(shí)數(shù)不等式恒成立,求的取值范圍;
(2)設(shè)不等式對(duì)于滿(mǎn)足的一切的值都成立,求的取值范圍。
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