Question

【題目】已知直線l的方程為y=x+2，點P是拋物線y2=4x上到直線l距離最小的點，點A是拋物線上異于點P的點，直線AP與直線l交于點Q，過點Q與x軸平行的直線與拋物線y2=4x交于點B．
（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）證明直線AB恒過定點，并求這個定點的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x0 ， y0），則 ，
所以，點P到直線l的距離 ．
當且僅當y0=2時等號成立，此時P點坐標為（1，2）．
（Ⅱ）設點A的坐標為 ，顯然y1≠2．
當y1=﹣2時，A點坐標為（1，﹣2），直線AP的方程為x=1；
當y1≠﹣2時，直線AP的方程為 ，
化簡得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；
綜上，直線AP的方程為4x﹣（y1+2）y+2y1=0．
與直線l的方程y=x+2聯立，可得點Q的縱坐標為 ．
因為，BQ∥x軸，所以B點的縱坐標為 ．
因此，B點的坐標為 ．
當 ，即 時，直線AB的斜率 ．
所以直線AB的方程為 ，
整理得 ．
當x=2，y=2時，上式對任意y1恒成立，
此時，直線AB恒過定點（2，2），
當 時，直線AB的方程為x=2，仍過定點（2，2），
故符合題意的直線AB恒過定點（2，2）
【解析】（Ⅰ）利用點到直線的距離公式，求出最小值，然后求點P的坐標；（Ⅱ）設點A的坐標為 ，顯然y1≠2．通過當y1=﹣2時，求出直線AP的方程為x=1；當y1≠﹣2時，求出直線AP的方程，然后求出Q的坐標，求出B點的坐標，解出直線AB的斜率，推出AB的方程，判斷直線AB恒過定點推出結果．