【題目】已知橢圓:的左右焦點分別為,,左頂點為,點在橢圓上,且的面積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過原點且與軸不重合的直線交橢圓,兩點,直線分別與軸交于點,,.求證:以為直徑的圓恒過交點,并求出面積的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點在橢圓上,且△的面積為,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、的方程組,求出 、 、,即可得橢圓的方程;(Ⅱ)直線的方程為,設(shè)點(不妨設(shè)),則點,由,消去,所以,可證明,,同理,則以為直徑的圓恒過焦點,可得,進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ),,

又點在橢圓上,,

解得,或(舍去),又,,

所以橢圓的方程為;

(Ⅱ),,

方法一:當(dāng)直線的斜率不存在時,,為短軸的兩個端點,則,, ,則以為直徑的圓恒過焦點,

當(dāng)的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,

設(shè)點不妨設(shè)),則點,

,消去,所以,

所以直線的方程為,

因為直線軸交于點,令,

即點,同理可得點,

,

,同理,

則以為直徑的圓恒過焦點,

當(dāng)的斜率存在且不為零時,

,

面積為,

又當(dāng)直線的斜率不存在時,,△面積為,

面積的取值范圍是

方法二:當(dāng),不為短軸的兩個端點時,設(shè),

,由點在橢圓上, ,

所以直線的方程為,令,

即點,同理可得點,

為直徑的圓可化為

代入,化簡得,

解得

為直徑的圓恒過焦點,

,又,,

面積為

當(dāng),為短軸的兩個端點時,,△面積為

面積的取值范圍是

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