【題目】如圖,在四棱錐中,已知棱,,兩兩垂直,長(zhǎng)度分別為1,2,2.若(),且向量與夾角的余弦值為.
(1)求的值;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出,的坐標(biāo),根據(jù)空間向量夾角余弦公式列出關(guān)于的方程可求;(2)設(shè)岀平面的法向量為,根據(jù),進(jìn)而得到,從而求出,向量的坐標(biāo)可以求出,從而可根據(jù)向量夾角余弦的公式求出,從而得和平面所成角的正弦值.
試題解析:(1)依題意,以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系
,因?yàn)?/span>,所以,從而,則由,解得(舍去)或.
(2)易得,,設(shè)平面的法向量,
則,,即,且,所以,不妨取,則平面的一個(gè)法向量,又易得,故,所以直線與平面所成角的正弦值為.
考點(diǎn): 1、空間兩向量夾角余弦公式;2、利用向量求直線和平面說(shuō)成角的正弦.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù),若過(guò)的動(dòng)直線與曲線相交于兩點(diǎn)
(1)說(shuō)明曲線的形狀,并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,DC⊥平面ABC,,,,P、Q分別為AE,AB的中點(diǎn).
(1)證明:平面.
(2)求異面直線與所成角的余弦值;
(3)求平面與平面所成銳二面角的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng),且,若動(dòng)點(diǎn)
滿足,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線的平行線交軌跡于兩點(diǎn),則是否為定值?若是,求出該值;若不是,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,左準(zhǔn)線為為橢圓上任意一點(diǎn),直線,垂足為,直線與交于點(diǎn).
(1)若,且,直線的方程為.①求橢圓的方程;②是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(2)設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn),求證:直線均與圓相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有人認(rèn)為在機(jī)動(dòng)車駕駛技術(shù)上,男性優(yōu)于女性.這是真的么?某社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)與交警合作隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了經(jīng)常開車的名駕駛員最近三個(gè)月內(nèi)是否有交通事故或交通違法事件發(fā)生,得到下面的列聯(lián)表:
男 | 女 | 合計(jì) | |
無(wú) | 40 | 35 | 75 |
有 | 15 | 10 | 25 |
合計(jì) | 55 | 45 | 100 |
附:.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
據(jù)此表,可得
A. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性不足
B. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性超過(guò)
C. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性不足
D. 認(rèn)為機(jī)動(dòng)車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性超過(guò)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線的焦點(diǎn)F在y軸上,其準(zhǔn)線與雙曲線的下準(zhǔn)線重合.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A(,)(>0)是拋物線上一點(diǎn),且AF=,B是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切線l,過(guò)點(diǎn)B作l的平行線l′,直線l′與拋物線交于點(diǎn)M,N,求△AMN的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C的方程為,離心率為,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn),交C于點(diǎn)(在第一象限),且是線段的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交C于另一點(diǎn),延長(zhǎng)線交C于點(diǎn).
(i)設(shè)直線,的斜率分別為,,證明:;
(ii)求直線的斜率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD=2,∠DAB=60°,PA=PC=2,且平面ACP⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:CB⊥PD;
(Ⅱ)求二面角C-PB-A的余弦值.
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