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【題目】已知函數．

（1）求曲線的斜率為2的切線方程；

（2）證明：；

（3）確定實數的取值范圍，使得存在,當時,恒有．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)求導，根據導數的幾何意義列出方程求出切點坐標，按照點斜式寫出方程；

(2)構造函數利用導數求出最值即可證明不等式；

(3)分類討論，當時，不滿足題意；當時，根據不等式的性質得出不滿足題意；當時，構造函數，利用導數證明即可.

（1）函數的定義域為.

由得.

令，即，得，（舍）．

又，

所以曲線的斜率為２的切線方程為

（2）設，則

.

令得，（舍）．

當時，；

當時，.

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

所以.

所以.

（3）由（2）可知，

① 當時，，

所以不存在，當時，恒有；

所以不符合題意.

②當時，對于，，

所以不存在，當時，恒有；

所以不符合題意.

③當時，設.

因為，

令即.

因為，

解得.

又因為，

所以.

取.

當時，；

所以在上單調遞增.

所以.

即.

所以符合題意.

所以實數的取值范圍是.

練習冊系列答案
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