Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和其圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）在$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（2）x∈$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinxcosx+1，
化簡(jiǎn)可得：$f（x）=\frac{1+cos2x}{4}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+1=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$．
（1）∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令$2x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，
可得，對(duì)稱中心的坐標(biāo)：$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{5}{4}），k∈Z$．
（2）∵$\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$\frac{{5+\sqrt{3}}}{4}≤\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}≤\frac{7}{4}$，
故得函數(shù)f（x）在$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$上的值域是$[\frac{5+\sqrt{3}}{4}，\frac{7}{4}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．