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【題目】已知數列的各項均為整數,其前n項和為.規(guī)定:若數列滿足前r項依次成公差為1的等差數列,從第項起往后依次成公比為2的等比數列,則稱數列為“r關聯數列”.

(1)若數列為“6關聯數列”,求數列的通項公式;

(2)在(1)的條件下,求出,并證明:對任意,;

3)若數列為“6關聯數列”,當,之間插入n個數,使這個數組成一個公差為的等差數列,求,并探究在數列中是否存在三項,,其中m,k,p成等差數列)成等比數列?若存在,求出這樣的三項;若不存在,說明理由.

【答案】(1)

(2),證明見解析

(3),不存在,理由見解析

【解析】

1)根據題意得到,,且.解得即可求出的通項公式.

(2)由(1)得,利用換元法證明數列的最小項為,即可證明對任意,.

3)由(1)可知,當時,,由此可得出.假設在數列中存在三項,,(其中,成等差數列)成等比數列,則,推導出故,這與題設矛盾,所以在數列中不存在三項,(其中,,成等差數列)成等比數列.

(1)∵為“6關聯數列”,

前6項為等差數列,從第5項起為等比數列.

,,且.

,解得.

.

(2)由(1)得.

,

可見數列的最小項為.

,

由列舉法知:當時,;

時,),

,則,

(3)由(1)可知,當時,,

因為:.

故:.

假設在數列中存在三項,,(其中,,成等差數列)成等比數列,

則:,即:

(*)

因為,成等差數列,所以,

(*)式可以化簡為,

即:,故,這與題設矛盾.

所以在數列中不存在三項,,(其中,成等差數列)成等比數列.

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