【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路l1、l2,海岸邊界MPN近似地看成一條曲線段.為開發(fā)旅游資源,需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道AB,且直線AB與曲線MPN有且僅有一個公共點P(即直線與曲線相切),如圖所示.若曲線段MPN是函數圖象的一段,點M到l1、l2的距離分別為8千米和1千米,點N到l2的距離為10千米,以l1、l2分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,設點P的橫坐標為p.
(1)求曲線段MPN的函數關系式,并指出其定義域;
(2)若某人從點O沿公路至點P觀景,要使得沿折線OAP比沿折線OBP的路程更近,求p的取值范圍.
【答案】(1)見解析; (2)見解析.
【解析】
(1)由題意得M(1,8),則a=8,即得曲線段的函數關系式,可得其定義域;
(2)由函數關系式設點P坐標,設直線AB方程,將直線方程與曲線方程聯立求出A,B坐標,即可求出最短長度p的取值范圍
(1)由題意得M(1,8),則a=8,故曲線段MPN的函數關系式為,
又得,所以定義域為[1,10].
(2),設AB:
由得kpx2+(8﹣kp2)x﹣8p=0,
△=(8﹣kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0,
∴kp2+8=0,∴,得直線AB方程為,
得,B(2p,0),故點P為AB線段的中點,
由即p2﹣8>0,
得時,OA<OB,
所以,當時,經點A至P路程最近.
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【題目】如圖,已知梯形中,,,,四邊形為矩形,,平面平面.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】(數學文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現介紹祖暅原理求球體體積公式的做法:可構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點,圓柱上底面為底面的圓錐,用這樣一個幾何體與半球應用祖暅原理(圖1),即可求得球的體積公式.請研究和理解球的體積公式求法的基礎上,解答以下問題:已知橢圓的標準方程為 ,將此橢圓繞y軸旋轉一周后,得一橄欖狀的幾何體(圖2),其體積等于______.
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【題目】關于函數,有下列四個命題:①的值域是;②是奇函數;③在上單調遞增;④方程總有四個不同的解;其中正確的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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【題目】(本小題滿分12分)已知圓,圓,動圓與圓外切并且與圓內切,圓心的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于,兩點,當圓的半徑最長時,求.
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【題目】已知數列的各項均為整數,其前n項和為.規(guī)定:若數列滿足前r項依次成公差為1的等差數列,從第項起往后依次成公比為2的等比數列,則稱數列為“r關聯數列”.
(1)若數列為“6關聯數列”,求數列的通項公式;
(2)在(1)的條件下,求出,并證明:對任意,;
(3)若數列為“6關聯數列”,當時,在與之間插入n個數,使這個數組成一個公差為的等差數列,求,并探究在數列中是否存在三項,,其中m,k,p成等差數列)成等比數列?若存在,求出這樣的三項;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,為棱上的點,且.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)設為棱上的點(不與,重合),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度,沿y軸正方向平移5個單位長度,得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度,沿y軸負方向平移2個單位長度,又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點(2,3)對稱,則直線l的方程是________________.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當點在橢圓的圖像上運動時,點在曲線上運動,求曲線的軌跡方程,并指出該曲線是什么圖形;
(3)過橢圓上異于其頂點的任意一點作曲線的兩條切線,切點分別為不在坐標軸上),若直線在軸,軸上的截距分別為試問:是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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