【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù)在時(shí)總有成立,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析 (2)
【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到,分別討論,,,四種情況,即可求出結(jié)果;
(2)先構(gòu)造函數(shù),分別討論,兩種情況,用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性,即可根據(jù)題意求出參數(shù)范圍.
(1)因?yàn)?/span>,
所以.
(。┤,恒成立,所以在上單調(diào)遞增.
(ⅱ)若,,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減.
(ⅲ)若,恒成立,所以在上單調(diào)遞增.
(ⅳ)若,,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)或時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
(2)構(gòu)造函數(shù),
當(dāng)時(shí),由,得,,∴.
當(dāng)時(shí),,
因?yàn)?/span>,所以,所以在上恒成立,故在上單調(diào)遞增.
,解得,又,所以.
故的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及直線的斜率;
(2)直線與圓C交于M,N兩點(diǎn),中點(diǎn)為Q,求Q點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),有下列四個(gè)命題:①的值域是;②是奇函數(shù);③在上單調(diào)遞增;④方程總有四個(gè)不同的解;其中正確的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),其前n項(xiàng)和為.規(guī)定:若數(shù)列滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列,從第項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列,則稱數(shù)列為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的條件下,求出,并證明:對(duì)任意,;
(3)若數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”,當(dāng)時(shí),在與之間插入n個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,求,并探究在數(shù)列中是否存在三項(xiàng),,其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項(xiàng);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,為棱上的點(diǎn),且.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與,重合),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列,,滿足:對(duì)任意的,都有=,=,=.記=(表示個(gè)實(shí)數(shù),,中的最大值).
(1)若=,=,=,求,,的值;
(2)若=,=,求滿足=的的所有值;
(3)設(shè),,是非零整數(shù),且,,互不相等,證明:存在正整數(shù),使得數(shù)列,,中有且只有一個(gè)數(shù)列自第項(xiàng)起各項(xiàng)均為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)(2,3)對(duì)稱,則直線l的方程是________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且離心率為,M為橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)∠F1MF2=90°時(shí),△F1MF2的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn),延長(zhǎng)直線AF1,AF2分別與橢圓交于點(diǎn)B,D,設(shè)直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)由題意可求得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,
當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時(shí),.
當(dāng)直線、的斜率存在時(shí),,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得直線的斜率為,直線的斜率為,則.綜上可得:直線與的斜率之積為定值.
(Ⅰ)設(shè)由題,
解得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),
設(shè),則,直線的方程為代入,
可得 ,,則,
直線的斜率為,直線的斜率為,
,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,
則由消去可得:,
又,則,代入上述方程可得:
,,
則 ,
設(shè)直線的方程為,同理可得 ,
直線的斜率為
直線的斜率為, .
所以,直線與的斜率之積為定值,即.
【點(diǎn)睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時(shí),時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí),務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,證明:x2-x1≤1+.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海水稻就是耐鹽堿水稻,是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長(zhǎng)在海邊灘涂地區(qū)的水稻,具有抗旱抗?jié)、抗病蟲害、抗倒伏抗鹽堿等特點(diǎn).近年來,我國(guó)的海水稻研究取得了階段性成果,目前已開展了全國(guó)大范圍試種.某農(nóng)業(yè)科學(xué)研究所分別抽取了試驗(yàn)田中的海水稻以及對(duì)照田中的普通水稻各株,測(cè)量了它們的根系深度(單位:),得到了如下的莖葉圖,其中兩豎線之間表示根系深度的十位數(shù),兩邊分別是海水稻和普通水稻根系深度的個(gè)位數(shù),則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.海水稻根系深度的中位數(shù)是
B.普通水稻根系深度的眾數(shù)是
C.海水稻根系深度的平均數(shù)大于普通水稻根系深度的平均數(shù)
D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
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