【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點，，且、、成等差數(shù)列.

（1）求的頂點的軌跡方程；

（2）直線與頂點的軌跡交于兩點，當(dāng)線段的中點落在直線上時，試問：線段的垂直平分線是否恒過定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

【答案】（1）（2）恒過定點；定點

【解析】

（1）由正弦定理，結(jié)合橢圓定義，即可容易求得軌跡方程；

（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由韋達定理求得中點的坐標(biāo)，根據(jù)其縱坐標(biāo)為，即可求得的等量關(guān)系，再求出直線垂直平分線的方程，再求直線恒過的定點即可.

（1）在中，，

根據(jù)正弦定理，可得，且，

由橢圓定義，可知頂點的軌跡為中心在原點，

以為焦點的橢圓（不包括與軸交點）.

，，，

軌跡方程為.

（2）設(shè)，，

由，得，

，

，，

點落在直線上，

，，

，，

線段的垂直平分線方程為，即，

線段的垂直平分線恒過定點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為，，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是

B.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁

D.衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小

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（Ⅱ）若函數(shù)的極大值點為，證明：.

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【題目】設(shè)數(shù)列（任意項都不為零）的前項和為，首項為，對于任意，滿足.

（1）數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列？若存在，試求的值；若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列，，若由的前項依次構(gòu)成的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求正整數(shù)的最大值.

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【題目】在無窮數(shù)列中，，且，記的前n項和為.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

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【題目】如圖，已知橢圓C：的左、右頂點分別為右焦點為，右準(zhǔn)線l的方程為，過焦點F的直線與橢圓C相交于點A，B（不與點重合）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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（3）設(shè)直線交l于點M，求證：B，，M三點共線.

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【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對數(shù)的底數(shù).

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（2）若函數(shù),對任意,恒成立.

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

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