Question

【題目】設函數(shù) .

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)的極大值點為，證明：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）的定義域為，，據(jù)此分類討論可得：當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，原問題等價于證明.構(gòu)造函數(shù) ，結(jié)合導函數(shù)的特征再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.

詳解：（Ⅰ）的定義域為，，

當時，，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

當時，由得，由得.

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，由得，由得，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知且時，解得.，

要證，即證，即證：.

令 ，則 .

令，易見函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

而，，

所以在區(qū)間上存在唯一的實數(shù)，使得，

即，且時，時.

故在上遞減，在上遞增.

∴ .

又，∴ .

∴成立，即成立.