【題目】如圖，已知橢圓C：的左、右頂點分別為右焦點為，右準(zhǔn)線l的方程為，過焦點F的直線與橢圓C相交于點A，B（不與點重合）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線AB的傾斜角為45°時，求弦AB的長；

（3）設(shè)直線交l于點M，求證：B，，M三點共線.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓性質(zhì)可得、，即可得解；

（2）由題意直線，設(shè)，，聯(lián)立方程組可得，，再利用弦長公式即可得解；

（3）設(shè)直線，，，易得，轉(zhuǎn)化結(jié)論為證明成立，聯(lián)立方程組即可得，，進(jìn)而可得，即可得證.

（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c．由題意得．

又右準(zhǔn)線l的方程為，所以，

所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

（2）設(shè)，，

因為直線的傾斜角為且過點，

所以直線，

聯(lián)立，消去得，，

所以，，

所以；

（3）由題意可得，，

因為直線AB的斜率不為0，

所以設(shè)直線，，，

則直線，令，得，所以；

要證，，三點共線，只需證，

即證，即證；

聯(lián)立，消去x得，，

所以，，

所以，

所以，，三點共線．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：


3

2

4




0

4


（Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三人投籃的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲與乙的命中率之和.若甲與乙各投籃一次，每人投籃相互獨立，則他們都命中的概率為0.18.

（1）求甲、乙、丙三人投籃的命中率；

（2）現(xiàn)要求甲、乙、丙三人各投籃一次，假設(shè)每人投籃相互獨立，記三人命中總次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點，，且、、成等差數(shù)列.

（1）求的頂點的軌跡方程；

（2）直線與頂點的軌跡交于兩點，當(dāng)線段的中點落在直線上時，試問：線段的垂直平分線是否恒過定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】跨年迎新聯(lián)歡晚會簡稱跨年晚會，是指每年陽歷年末12月31日晚上各電視臺和政府為喜迎新而精心策劃的演唱會活動，跨年晚會首次出現(xiàn)在港臺地區(qū)，跨年晚會因形式和舉辦地不同因而名稱也不同，如央視啟航2020跨年盛典，湖南衛(wèi)視跨年演唱會，東方衛(wèi)視迎新晚會等.某電視臺為了了解2020年舉辦的跨年迎新晚會觀眾的滿意度，現(xiàn)分別隨機選出名觀眾對迎新晚會的質(zhì)量評估評分，最高分為分，綜合得分情況如下表所示：

綜合得分

觀眾人數(shù)

5

10

25

30

15

10

5

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，繪制這位觀眾打分的頻率分布直方圖；

（2）已知觀眾的評分近似服從，其中是反應(yīng)隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，工作人員在分析數(shù)據(jù)時發(fā)現(xiàn)，可用位觀眾評分的平均數(shù)估計，但由于評分觀眾人數(shù)較少，誤差較大，所以不能直接用位觀眾評分的標(biāo)準(zhǔn)差的值估計，而在這位觀眾打分的頻率分布直方圖的基礎(chǔ)上依據(jù)來估計更科學(xué)合理，試求和的估計值（的結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du)；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中，，.給出下列四個結(jié)論：

①四棱錐為陽馬；

②直線與平面所成角為；

③當(dāng)時，異面直線與所成的角的余弦值為；

④當(dāng)三棱錐體積最大時，四棱錐的外接球的表面積為.

其中，所有正確結(jié)論的序號是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：

等級

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

a

24

b

（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）其他條件不變在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）點M為曲線C上一點，求M到直線l的最小距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求a的值；

（2）在（1）的條件下，若，證明：；

（3）若，證明：.

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