Question

【題目】如圖，與等邊所在的平面相互垂直，，為線段中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn).，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)由條件可得平面，則，又為等邊三角形可得，從而可得平面，從而得證.
(2)由條件可得平面，即得到，所以為的中點(diǎn)，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)槠矫?/span>平面，且兩平面交于，，

所以平面，則.

又因?yàn)?/span>為等邊三角形，為線段中點(diǎn)，

所以.

因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面

（2）解：因?yàn)?/span>，平面，且平面，

所以平面，因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以，所以為的中點(diǎn).

以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

根據(jù)已知可得：，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量，

由可得

取，則，，

所以平面的一個(gè)法向量，

由（Ⅰ）得平面，

所以平面的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角的大小為，

所以，

所以二面角的平面角的余弦為.