【題目】已知函數(shù)().
(1)若恒成立,求a的取值范圍;
(2)若,證明:在有唯一的極值點(diǎn)x,且.
【答案】(1).(2)見解析
【解析】
(1)計(jì)算得到,再證明當(dāng)()時(shí),,先證明(),討論和兩種情況,計(jì)算得到證明.
(2)求導(dǎo)得到,,得到存在唯一實(shí)數(shù),使,存在唯一實(shí)數(shù),使,得到,得到證明.
(1)由,得,即,解得,,
以下證明,當(dāng)()時(shí),.
為此先證:().
若,則;
若,則.
令(),可知,函數(shù)單調(diào)遞增,
故,即(),
綜上所述:().
若(),則當(dāng)時(shí),,
故,即;
當(dāng)時(shí),,由(),
得.
故當(dāng)()時(shí),.
綜上,所求a的取值范圍是.
(2),令,
,∵,∴是上的增函數(shù),
又,,
故存在唯一實(shí)數(shù),使,當(dāng)時(shí),,遞減;當(dāng)時(shí),,遞增.
又,則,,,
∴,,.
故存在唯一實(shí)數(shù),使.
當(dāng)時(shí),,遞減;
當(dāng)時(shí),,遞增.
所以在區(qū)間有唯一極小值點(diǎn),且極小值為.
又由,得,
∴.
又.
以下只需證明,即證,.
∵,∴.
則,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,,E、F分別為AD,BC的中點(diǎn).以EF為折痕把四邊形EFCD折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)M的位置,點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)N的位置,且.
(1)求證:平面NEB;
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為4,則ab的最大值為________,的最小值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小值為0,其中.
(1)求的值;
(2)若對(duì)任意的,有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值;
(3)記,為不超過(guò)的最大整數(shù),求的值.
(參考數(shù)據(jù):,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年,全國(guó)各地區(qū)堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)工作總基調(diào),經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn),發(fā)展水平邁上新臺(tái)階,發(fā)展質(zhì)量穩(wěn)步上升,人民生活福祉持續(xù)增進(jìn),全年最終消費(fèi)支出對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率為57.8%.下圖為2019年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度:(同比(本期數(shù)-去年同期數(shù))/去年同期數(shù),環(huán)比(本期數(shù)-上期數(shù))/上期數(shù)
下列結(jié)論中不正確的是( )
A.2019年第三季度的居民消費(fèi)價(jià)格一直都在增長(zhǎng)
B.2018年7月份的居民消費(fèi)價(jià)格比同年8月份要低一些
C.2019年全年居民消費(fèi)價(jià)格比2018年漲了2.5%以上
D.2019年3月份的居民消費(fèi)價(jià)格全年最低
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足.
(1)求證:數(shù)列等差數(shù)列;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在正整數(shù)、,使得、、成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)對(duì);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若數(shù)列、、、、、是公比為的等比數(shù)列,求最小正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、,求證:;
(3)設(shè),函數(shù)的反函數(shù)為,令,、、,,且,若時(shí),對(duì)任意的且,恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,與等邊所在的平面相互垂直,,為線段中點(diǎn),直線與平面交于點(diǎn).,.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,且.
(1)過(guò)作截面與線段交于點(diǎn)H,使得平面,試確定點(diǎn)H的位置,并給出證明;
(2)在(1)的條件下,若二面角的大小為,試求直線與平面所成角的正弦值.
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