【題目】設數列{an}的各項都為正數,其前n項和為Sn , 已知4Sn=an2+2an .
(1)求a1級數列{an}的通項公式;
(2)設數列{bn}前n項和為Tn , 且bn= ,若λTn<n+(﹣1)n36對n∈N*恒成立,求實數λ的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵4Sn=an2+2an,
∴4Sn+1=an+12+2an+1,
兩式相減得:4an+1=an+12+2an+1﹣(an2+2an),
整理得:(an+1+an)(an+1﹣an)=2(an+1+an),
又∵數列{an}的各項都為正數,
∴an+1﹣an=2,
又∵4a1= +2a1,
∴a1=2或a1=0(舍),
∴數列{an}的通項公式an=2n
(2)解:bn=
=
=
= ﹣ ,
∴Tn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ,
∵λTn<n+(﹣1)n36對n∈N*恒成立,
∴λ< =n+1+(﹣1)n 對n∈N*恒成立,
記f(n)=n+1+(﹣1)n ,
當n為偶數時,f(n)=n+1+
=37+n+
≥37+2 =37+26=49,
當且僅當n= 即n=6時取等號;
當n為奇數時,f(n)=n+1﹣
=n﹣ ﹣35
≥1﹣ ﹣35=﹣70;
綜上所述,實數λ的取值范圍為:(﹣∞,﹣70)
【解析】(1)利用4Sn=an2+2an與4Sn+1=an+12+2an+1作差、整理得an+1﹣an=2,進而計算可得結論;(2)通過裂項、并項相加可知Tn= ,進而問題轉化為求f(n)=n+1+(﹣1)n 的最小值,通過對n分奇數、偶數兩種情況討論即可.
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點,需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題.
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【題目】設函數f(x)=ax﹣(k﹣1)a﹣x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數.
(1)求k值;
(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為﹣2,求m的值.
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【題目】若把函數y=sin(ωx﹣ )的圖象向左平移 個單位,所得到的圖象與函數y=cosωx的圖象重合,則ω的一個可能取值是( )
A.2
B.
C.
D.
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【題目】已知函數有極值,且導函數的極值點是的零點。(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)
求b關于a的函數關系式,并寫出定義域;
證明:b>3a;
若, 這兩個函數的所有極值之和不小于,求a的取值范圍。
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【題目】如圖,正三角形ABC的邊長為2,D、E、F分別在三邊AB,BC和CA上,且D為AB的中點,∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°).
(1)當tan∠DEF= 時,求θ的大小;
(2)求△DEF的面積S的最小值及使得S取最小值時θ的值.
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【題目】函數y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在同一個周期內,當x= 時y取最大值1,當x= 時y取最小值﹣1.
(1)求函數的解析式y(tǒng)=f(x);
(2)當x∈[ , ]時.求函數y=f(x)的值域.
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【題目】已知定義域為R的函數f(x)= 是奇函數.
(1)求b的值;
(2)用定義法證明函數f(x)在R上是減函數;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
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【題目】某學校設有甲、乙兩個實驗班,為了了解班級成績,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩班學生中分別抽取8名和6名測試他們的數學與英語成績(單位:分),用表示,下面是乙班6名學生的測試分數: , , , , , ,當學生的數學、英語成績滿足,且時,該學生定為優(yōu)秀生.
(Ⅰ)已知甲班共有80名學生,用上述樣本數估計乙班優(yōu)秀生的數量;
(Ⅱ)從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取3名,求至少有兩名為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅲ)從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取2名,其中優(yōu)秀生數記為,求的分布列及其數學期望.
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【題目】已知直線l1:(1+4k)x﹣(2﹣3k)y+(2﹣14k)=0,圓C:x2+y2﹣6x﹣8y+9=0.
(1)判斷直線l1與圓的位置關系,并證明你的結論;
(2)直線l2過直線l1的定點且l1⊥l2 , 若l1與圓C交與A,B兩點,l2與圓C交與E,F兩點,求AB+EF的最大值.
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