Question

【題目】某學(xué)校設(shè)有甲、乙兩個實驗班，為了了解班級成績，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩班學(xué)生中分別抽取8名和6名測試他們的數(shù)學(xué)與英語成績（單位：分），用表示，下面是乙班6名學(xué)生的測試分數(shù)： ， ， ， ， ， ，當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語成績滿足，且時，該學(xué)生定為優(yōu)秀生.

（Ⅰ）已知甲班共有80名學(xué)生，用上述樣本數(shù)估計乙班優(yōu)秀生的數(shù)量；

（Ⅱ）從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機抽取3名，求至少有兩名為優(yōu)秀生的概率；

（Ⅲ）從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機抽取2名，其中優(yōu)秀生數(shù)記為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）乙班優(yōu)秀生的數(shù)量大約為40；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)分層抽樣的原理，利用比例求解即可；

（Ⅱ）至少有兩名為優(yōu)秀生包含兩種情況：有2名優(yōu)秀生，1名非優(yōu)秀生和3名都是優(yōu)秀生；

（Ⅲ）從乙班抽出的6名學(xué)生中任取1名是優(yōu)秀生的概率是.由題意可知的取值可以為0,1,2，且滿足二項分布.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)乙班學(xué)生數(shù)為，

則由分成抽樣可知，解得，

即乙班學(xué)生數(shù)為60，

由測試數(shù)據(jù)可知、、、四名學(xué)生為優(yōu)秀生， ， ，

故乙班優(yōu)秀生的數(shù)量大約為40.

（Ⅱ）至少有兩名為優(yōu)秀生包含兩種情況：有2名優(yōu)秀生，1名非優(yōu)秀生和3名都是優(yōu)秀生，

所以所求概率.

（Ⅲ）從乙班抽出的6名學(xué)生中任取1名是優(yōu)秀生的概率是.由題意可知的取值可以為0,1,2，且滿足二項分布，

所以， ， ，

所以的分布列為

故數(shù)學(xué)期望為.