Question

（2013•海淀區(qū)二模）設(shè)變量x，y滿足約束條件

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

其中k∈R，k＞0
（I）當(dāng)k=1時(shí)，

y

x2

的最大值為

1

；
（II）若

y

x2

的最大值為1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

（0，1]

．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)k=1時(shí)，作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部．設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并觀察直線OP斜率的變化，可得當(dāng)P與線段AB上某點(diǎn)重合時(shí)，k_OP=1達(dá)到最大值，進(jìn)一步觀察得到點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，

y

x2

有最大值為1；
（II）如圖所示，題中不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中直線AB上方、直線BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的區(qū)域．由此將直線y-1=k（x-1）繞A（1，1）旋轉(zhuǎn)，觀察斜率的變化并計(jì)算

y

x2

的值，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)k=1時(shí)，作出不等式組

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

，
即

y-1≥0 x+y-4≤0 y≤x

表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（1，1），B（3，1），C（2，2）
設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可得k_OP=

y

x

表示P、O兩點(diǎn)連線的斜率
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與線段AB上某點(diǎn)重合時(shí)，k_OP=1達(dá)到最大值；
當(dāng)P與B重合時(shí)，k_OP=

1

3

達(dá)到最小值
∵

y

x2

=k_OP•

1

x

，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x達(dá)最小值1得

1

x

有最大值1，
且k_OP達(dá)到最大值
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，

y

x2

有最大值為1；
（II）根據(jù)題意，直線y-1=k（x-1）經(jīng)過定點(diǎn)A（1，1）
不等式組

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

表示的平面區(qū)域?yàn)橹本�AB上方、直線BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的區(qū)域
∵

y

x2

的最大值為1，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)

y

x2

有最大值
∴直線y-1=k（x-1）繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且滿足斜率大于0時(shí)，符合題意
因此斜率的范圍為（0，1]，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1]．
故答案為：1，（0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最值和參數(shù)的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和直線的斜率等知識(shí)，屬于中檔題．