【題目】如圖,在空間四面體中, ⊥平面,,且.
(1)證明:平面⊥平面;
(2)求四面體體積的最大值,并求此時二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2),
【解析】
(1)由勾股定理可得,由線面垂直的性質(zhì)可得,由線面垂直的判定定理可得面 ,從而可得結(jié)果;(2)設(shè),則,
由棱錐的體積公式求得棱錐的體積,利用導(dǎo)數(shù)可得體積的最大值;以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求得平面與平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式求解即可.
(1),
故 即
又
由、得
故有平面⊥平面
(2)設(shè),則
四面體的體積
,故在單增,在單減
易知時四面體的體積最大,且最大值是
以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系
則
設(shè)平面的法向量為 則由
取,得平面的一個法向量為
同理可得平面的一個法向量
由于是銳二面角,故所求二面角的余弦值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), (為常數(shù)).
(1)若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線,求實數(shù)的值;
(2)若,且,證明: ;
(3)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過點、,并且直線平分圓.
(1)求圓的方程;
(2)若過點,且斜率為的直線與圓有兩個不同的交點、.
(i)求實數(shù)的取值范圍;
(ii)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)要完成下列三項抽樣調(diào)查:①從罐奶粉中抽取罐進行食品安全衛(wèi)生檢查;②高二年級有名學(xué)生,為調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況抽取一個容量為的樣本;③從某社區(qū)戶高收入家庭,戶中等收入家庭,戶低收入家庭中選出戶進行消費水平調(diào)查.以下各調(diào)查方法較為合理的是( )
A.①系統(tǒng)抽樣,②簡單隨機抽樣,③分層抽樣
B.①簡單隨機抽樣,②分層抽樣,③系統(tǒng)抽樣
C.①分層抽樣,②系統(tǒng)抽樣,③簡單隨機抽樣
D.①簡單隨機抽樣,②系統(tǒng)抽樣,③分層抽樣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,,,,.
(Ⅰ)設(shè)分別為的中點,求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)=.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)已知在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,求.
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