【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,,,,.
(Ⅰ)設(shè)分別為的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】
(I)連接,利用平行四邊形的性質(zhì),結(jié)合三角形的中位線,證得,由此證得平面.
(II)取棱的中點(diǎn),連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得,再由證得平面.
(III)連接,結(jié)合(II)中證得的平面,判斷出為直線與平面所成的角,解三角形求得線面角的正弦值.
(Ⅰ)如圖,連接.
易知,.
又由,
可知.
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)如圖,取棱的中點(diǎn),連接.
依題意,得,
又因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
所以平面,又平面,
故.
又因?yàn)?/span>,,
所以平面.
(Ⅲ)如圖,連接.
由(Ⅱ)中平面,可知為直線與平面所成的角.
因?yàn)?/span>,,且為中點(diǎn),
所以.
又,在中,,
所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題 “存在”,命題:“曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”,命題 “曲線表示雙曲線”
(1)若“且”是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)證明:當(dāng)時(shí),曲線恒在曲線的下方;
(3)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,拋物線()經(jīng)過點(diǎn)A,交x軸于另一點(diǎn)C,如圖所示.
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,連接BD,AD,CD,動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段CA上以每秒3個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.PQ交線段AD于點(diǎn)E.
①當(dāng)時(shí),求t的值;
②過點(diǎn)E作,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)P作交線段AB或AD于點(diǎn)N,當(dāng)時(shí),求t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在空間四面體中, ⊥平面,,且.
(1)證明:平面⊥平面;
(2)求四面體體積的最大值,并求此時(shí)二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是方程的兩根,數(shù)列是遞增的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記,求數(shù)列的前和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號(hào),現(xiàn)從“微信運(yùn)動(dòng)”的個(gè)好友(男、女各人)中,記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下表:
0-2000步 | 2001-5000步 | 5001-8000步 | 8001-10000步 | >10000步 | |
男(人數(shù)) | 2 | 4 | 6 | 10 | 8 |
女(人數(shù)) | 1 | 7 | 10 | 9 | 3 |
(1)若某人一天的走路步數(shù)超過步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”,否則評(píng)定為“懈怠型",根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有%的把握認(rèn)為“評(píng)定類型"與“性別“有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計(jì) | |
男(人數(shù)) | |||
女(人數(shù)) | |||
總計(jì) |
(2)現(xiàn)從被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”好友中,按男女性別分層抽樣,共抽出人,再從這人中,任意抽出人發(fā)一等獎(jiǎng),求發(fā)到一等獎(jiǎng)的中恰有一名女性的概率.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明每天上學(xué)都需要經(jīng)過一個(gè)有交通信號(hào)燈的十字路口.已知十字路口的交通信號(hào)燈綠燈亮的時(shí)間為40秒,黃燈5秒,紅燈45秒.如果小明每天到路口的時(shí)間是隨機(jī)的,則小明上學(xué)時(shí)到十字路口需要等待的時(shí)間不少于20秒的概率是
A. B. C. D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),圓,以動(dòng)點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn),且圓與圓內(nèi)切.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)若直線過點(diǎn),且與曲線交于兩點(diǎn),則在軸上是否存在一點(diǎn),使得軸平分?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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