Question

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點，．

（1）求證：；
（2）若時，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）．

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力．第一問，連結OC，由于為等腰三角形，O為AB的中點，所以，利用面面垂直的性質，得平面ABEF，利用線面垂直的性質得，由線面垂直的判定得平面OEC，所以，所以線面垂直的判定得平面，最后利用線面垂直的性質得；第二問，利用向量法，先建立空間直角坐標系，求出平面FCE和平面CEB的法向量，再利用夾角公式求二面角的余弦值，但是需要判斷二面角是銳角還是鈍角．
試題解析：（1）證明：連結OC，因AC=BC，O是AB的中點，故．
又因平面ABC平面ABEF，故平面ABEF，     2分
于是．又，所以平面OEC，所以，     4分
又因，故平面，所以．     6分
（2）由（1），得，不妨設，，取EF的中點D，以O為原點，OC，OB，OD所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設，則，
在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則從而設平面的法向量，由，得，                    9分
同理可求得平面的法向量，設的夾角為，則，由于二面角為鈍二面角，則余弦值為                            13分