Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為PB上任意一點(diǎn)．

(1)證明：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小為45°，求PD∶AD的值．

Answer 1

（1）見解析（2）∶2

(1)證明　因?yàn)?i>PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC?平面EAC.
所以平面EAC⊥平面PBD.
(2)解　連接OE，

因?yàn)?i>PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中點(diǎn)，故此時(shí)E為PB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OA，OB，OE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
設(shè)OB＝m，OE＝h，則OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n₁＝(0,1,0)為平面AEC的一個(gè)法向量，設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量n₂＝(x，y，z)
則n₂·＝0，且n₂·＝0，
即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.
取x＝1，則y＝，z＝，則n₂＝，
∴cos 45°＝|cos〈n₁，n₂〉|＝＝＝，解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.