Question

17．觀察下列等式：
a²-b²=（a-b）（a+b）
a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³），…，
照此規(guī)律，aⁿ-bⁿ=（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 根據(jù)所給信息，可知各個(gè)等式的左邊兩因式中，一項(xiàng)為（a-b），另一項(xiàng)每一項(xiàng)的次數(shù)均為n-1，而且按照字母a的降冪排列，故可得答案．

解答 解：由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有（a-b）（a+b）=a²-b²；
當(dāng)n=2時(shí)，有（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
當(dāng)n=3時(shí)，有（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
當(dāng)n=4時(shí)，有（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵；
所以得到猜想：當(dāng)n∈N^*時(shí)，有（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）=aⁿ-bⁿ；
故答案為（a-b）（a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是歸納推理，主要考查信息的處理，關(guān)鍵是根據(jù)所給信息，可知兩因式中，一項(xiàng)為（a-b），另一項(xiàng)每一項(xiàng)的次數(shù)均為n-1，而且按照字母a的降冪排列．