Question

12．已知拋物線y²=4x的準線與雙曲線4x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）交于A、B兩點，點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{17}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{57}}{3}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 根據拋物線的方程求出拋物線的準線方程和焦點坐標，結合直角三角形的性質建立方程關系進行求解即可．

解答 解：由拋物線的標準方程得拋物線的準線為x=-1，拋物線的焦點F（1，0），
將x=-1代入雙曲線方程得4-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=3，則y=±$\sqrt{3}$b，
設A（-1，$\sqrt{3}$b），B（-1，-$\sqrt{3}$b），
∵△FAB為直角三角形，
∴tan45°=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$=1，則b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
則雙曲線的方程為4x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，則a=$\frac{1}{2}$，
c=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{57}}{6}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{57}}{6}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據拋物線和雙曲線的性質建立方程是解決本題的關鍵．