Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1），g（x）=log₃x，若函數(shù)f（x）的定義域與值域都是[1，a]，則對(duì)于任意的x₁，x₂∈[1，a+1]時(shí)，總有$|{f（{x_1}）-g（{x_2}）}|≤{t^2}+2t-1$恒成立，則t的取值范圍為（　　）

• A． [1，3]
• B． [-1，3]
• C． [1，+∞）∪（-∞，-3]
• D． [3，+∞）∪（-∞，-1]

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸判斷出函數(shù)單調(diào)性，得出a=f（1），求出a=2，進(jìn)而求出只需t²+2t-3≥0，得出答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的對(duì)稱軸為x=a∈[1，a]
∴函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上單調(diào)遞減
∵函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
∴f（x）=x²-4x+5，g（x）=log₃x．
∵對(duì)于任意的x₁，x₂∈[1，3]，1≤f（x）≤2，0≤g（x）≤1，
∴t²+2t-3≥0，
∴t∈[1，+∞）∪（-∞，-3]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．