Question

7．已知直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₁的極坐標方程為：ρ=1．
（1）寫出曲線C₁的直角坐標方程及其參數(shù)方程；
（2）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標互化的方法，可得曲線C₁的直角坐標方程，從而可得參數(shù)方程；
（2）點P的坐標是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，從而點P 到直線?的距離是$d=\frac{{|\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}[\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+2]$，即可求它到直線l的距離的最小值．

解答 解：（1）C₁的普通方程為：x²+y²=1．
C₁的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）．
（2）C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosθ}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）．故點P的坐標是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
從而點P 到直線?的距離是$d=\frac{{|\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}[\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+2]$
由此當$sin（θ-\frac{π}{4}）=-1$時，d取得最小值，且最小值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}（\sqrt{2}-1）$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標互化，考查參數(shù)方程的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．