Question

16．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓x²+y²=b²，若橢圓C上存在點P，使得過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A、B，滿足∠APB=60°，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜e≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$≤e＜1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$＜e＜1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1

Answer 1

分析 由題意可知：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由圖可知：O、P、A、B四點共圓，∠APB=60°，則∠APO=∠BPO=30°，cos∠AOP=$\frac{丨OP丨}$=$\frac{1}{2}$，|OP|=2b，因此b＜|OP|≤a，即2b≤a，由a²=b²+c²，可得3a²≤4c²，e≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜e＜1，即可求得橢圓的離心率e的取值范圍．

解答 解：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點共圓，
∵∠APB=60°，
∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，
∴cos∠AOP=$\frac{丨OP丨}$=$\frac{1}{2}$，
∴|OP|=$\frac{\frac{1}{2}}$=2b，
∴b＜|OP|≤a，
∴2b≤a，
∴4b²≤a²，
由a²=b²+c²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{3}{4}$，
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1，
∴橢圓C的離心率的取值范圍是$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1．
故選D．

點評 本題考查橢圓的離心率，考查四點共圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的概念，考查轉(zhuǎn)化與方程思想，屬于難題．