【題目】如圖，四棱錐中，側面底面，，，，，，分別為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使與平面所成角的正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）存在；

【解析】

（1）取中點，可證明且，從而證明，進而可證明平面；（2）分別以為軸建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標，利用向量法可求出二面角的余弦值；（3）假設存在點，利用向量法求與平面所成角的正弦值為時點的坐標，判斷是否在線段上，進而求出的長.

（1）證明：取中點，連接，

，即，

所以為平行四邊形，平面，平面，因此平面.

（2）解：因為，為的中點，所以，又因為側面底面且交線為，所以平面，

分別以為軸建立空間直角坐標系.

，

平面的法向量，

，，設平面的法向量，

則令，得.

所以，因此二面角的余弦值為.

（3）解：設，，，

平面的法向量，

所以，

解得或（舍），所以存在，

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（ ）

A.6B.C.D.12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，，E是上一點，且，設.

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點，在軸上是否存在點，使得， 若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為實現(xiàn)2020年全面建設小康社會，某地進行產(chǎn)業(yè)的升級改造.經(jīng)市場調(diào)研和科學研判，準備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個核心部件，目前只有甲、乙兩種設備可以獨立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設備生產(chǎn)的部件中隨機抽取400件，對其核心部件的尺寸x，進行統(tǒng)計整理的頻率分布直方圖.

根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標準規(guī)定，該核心部件尺寸x滿足：|x﹣12|≤1為一級品，1＜|x﹣12|≤2為二級品，|x﹣12|＞2為三級品.

（Ⅰ）現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品，再從所抽取的40件產(chǎn)品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的產(chǎn)品，記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14，15]的產(chǎn)品個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅱ）將甲設備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時，需要進行檢驗.已知每箱有100件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的檢驗費用為50元.檢驗規(guī)定：若檢驗出三級品需更換為一級或二級品；若不檢驗，讓三級品進入買家，廠家需向買家每件支付200元補償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機抽檢了10件，結果發(fā)現(xiàn)有1件三級品.若將甲設備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費用作為決策依據(jù)，問是否對該箱中剩余產(chǎn)品進行一一檢驗？請說明理由；

（Ⅲ）為加大升級力度，廠家需增購設備.已知這種產(chǎn)品的利潤如下：一級品的利潤為500元/件；二級品的利潤為400元/件；三級品的利潤為200元/件.乙種設備產(chǎn)品中一、二、三級品的概率分別是，，.若將甲設備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤作為決策依據(jù).應選購哪種設備？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】學生考試中答對但得不了滿分的原因多為答題不規(guī)范，具體表現(xiàn)為:解題結果正確，無明顯推理錯誤，但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等，記此類解答為“類解答”為評估此類解答導致的失分情況，某市教研室做了項試驗:從某次考試的數(shù)學試卷中隨機抽取若干屬于“類解答”的題目，掃描后由近百名數(shù)學老師集體評閱，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，滿分12分的題，閱卷老師所評分數(shù)及各分數(shù)所占比例大約如下表:

教師評分（滿分12分）

11

10

9

各分數(shù)所占比例

某次數(shù)學考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式，規(guī)則如下:兩名老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數(shù)之差的絕對值小于等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數(shù)之差的絕對值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分；當一、二評分數(shù)和仲裁分數(shù)差值的絕對值相同時，取仲裁分數(shù)和前兩評中較高的分數(shù)的平均分為該題得分.(假設本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分數(shù)及比例均如上表所示，比例視為概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響).

（1）本次數(shù)學考試中甲同學某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”，求甲同學此題得分的分布列及數(shù)學期望;

（2）本次數(shù)學考試有6個解答題，每題滿分12分，同學乙6個題的解答均為“類解答”.

①記乙同學6個題得分為的題目個數(shù)為計算事件的概率.

②同學丙的前四題均為滿分，第5題為“類解答”，第6題得8分.以乙、丙兩位同學解答題總分均值為依據(jù)，談談你對“類解答”的認識.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉動一周，則點M的軌跡C是一個橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導槽的交點為原點O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標系.

（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用表示點M的坐標，并求出C的普通方程；

（2）已知過C的左焦點F，且傾斜角為α（0≤α）的直線l1與C交于D，E兩點，過點F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點.當，|GH|，依次成等差數(shù)列時，求直線l2的普通方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為迎接年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了名學生，將他們的比賽成績（滿分為分）分為組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值；

（2）記表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于分”，估計的概率；

（3）在抽取的名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于分為“非優(yōu)秀”．請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

女生

合計

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一動點，點是的中點．

（1）求證：；

（2）若，問是否存在點E，使得二面角的余弦值為？若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由．

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