Question

【題目】已知四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一動點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，問是否存在點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）存在，點(diǎn)E為的中點(diǎn)

【解析】

（1）由平面平面，，可證得平面，而 在平面內(nèi)，所以；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解

（1）證明：因為平面平面，，

平面平面， 在平面內(nèi)，

所以平面，

因為 在平面內(nèi)，所以；

（2）因為，，

所以，所以，所以,

因為平面平面，平面平面，

所以平面,

所以,

因為,

所以平面,所以,

因為， ，所以,

所以,,

所以，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

設(shè)，則

因為為棱上一動點(diǎn)在上，所以設(shè)，

所以，解得，

所以，,

設(shè)平面的法向量為，則,

所以

得，令，則，

所以

設(shè)平面的法向量為，則

所以，

令，則，得，

所以，

所以，

解得，

所以當(dāng)點(diǎn)E在的中點(diǎn)時，二面角的余弦值為