已知圓，若焦點(diǎn)在軸上的橢圓 過(guò)點(diǎn)，且其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)與，與圓交于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，求弦長(zhǎng)；
（3）求面積的最大值．

（1）；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）由題意可知，又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，代入方程可求得，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）可設(shè)直線(xiàn)的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出弦心距，再根據(jù)勾股定理可算出半弦長(zhǎng)，從而得到弦長(zhǎng)；（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/98/c/1eu1r3.png" style="vertical-align:middle;" />，故直線(xiàn)的方程為，和橢圓的方程聯(lián)立方程組，從而求出的長(zhǎng)，則三角形的面積為，利用基本不等式求出最大值．
試題解析：
（1）由題意得，，所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)，由題意知直線(xiàn)的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線(xiàn)的方程為，
又圓O：，故點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離，
所以．
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/98/c/1eu1r3.png" style="vertical-align:middle;" />，故直線(xiàn)的方程為，
由消去，整理得，
故，所以，
設(shè)的面積為S，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
考點(diǎn)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的離心率，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若以＞0)為斜率的直線(xiàn)與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡曲線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，寫(xiě)出曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程；（不要求證明）
（3）直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)與直線(xiàn)垂直，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線(xiàn)，、是雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)上除兩頂點(diǎn)外的一點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積是，
求雙曲線(xiàn)的離心率；
若該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離是，求雙曲線(xiàn)的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過(guò)P作兩條斜率之積為的直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)都與圓相切時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個(gè)焦點(diǎn).
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）中求過(guò)點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓，、是其左右焦點(diǎn)，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)斜率為，且，求直線(xiàn)斜率的取值范圍；
（3）若為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線(xiàn)分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，一條準(zhǔn)線(xiàn)的方程為.
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）射線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)，分別與橢圓交于 兩點(diǎn)（兩點(diǎn)異于）．求證：直線(xiàn)的斜率為定值．

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