在平面直角坐標系中,已知橢圓的左焦點為,且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓上,是否存在點,使得直線與圓相交于不同的兩點,且的面積最大?若存在,求出點的坐標及對應的的面積;若不存在,請說明理由.

(1);(2);(3)存在點滿足題意,點的坐標為,的面積為

解析試題分析:(1)由題目給出的條件直接列關于的方程組求解的值,則橢圓方程可求;(2)由橢圓方程求出橢圓上下頂點的坐標,設出橢圓上的動點,由直線方程的兩點式寫出直線的方程,取后得到的長度,結合點在橢圓上整體化簡運算可證出為定值;(3)假設存在點,使得直線與圓,相交于不同的兩點,且的面積最大,由點在橢圓上得到關于的關系式,由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離,由圓中的半徑,半弦長和弦心距之間的關系求出弦長,寫出的面積后利用基本不等式求面積的最大值,利用不等式中等號成立的條件得到關于的另一關系式,聯(lián)立后可求解的坐標.
試題解析:
(1)由題意:,解得:
所以橢圓
(2) 由(1)可知,設,
直線:,令,得;
直線:,令,得;
,
,所以,
所以
(3)假設存在點滿足題意,則,即
設圓心到直線的距離為,則,且
所以
所以
因為,所以,所以
所以
當且僅當,即時,取得最大值
,解得
所以存在點滿足題意,點的坐標為

此時的面積為
考點:本題考查了橢圓的標準方程,考查了橢圓的簡單幾何性質,考查了直線和圓錐曲線的關系,直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知兩點,點在以、為焦點的橢圓上,且、、構成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點是直線上的兩點,且,. 求四邊形面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知圓,若焦點在軸上的橢圓 過點,且其長軸長等于圓的直徑.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線,與圓交于兩點,交橢圓于另一點,設直線的斜率為,求弦長;
(3)求面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線和⊙,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,分別交拋物線為E、F兩點,圓心點到拋物線準線的距離為

(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;
(Ⅲ)若直線軸上的截距為,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓C:的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設為橢圓上一點,且滿足為坐標原點),當 時,求實數(shù)取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知三點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)。
(1)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標準方程;
(2)設點P、F1、F2關于直線y=x的對稱點分別為,求以為焦點且過點的雙曲線的標準方程。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

橢圓以坐標軸為對稱軸,且經(jīng)過點、.記其上頂點為,右頂點為.
(1)求圓心在線段上,且與坐標軸相切于橢圓焦點的圓的方程;
(2)在橢圓位于第一象限的弧上求一點,使的面積最大.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,過點的直線與橢圓交于不同的兩點
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知雙曲線(a>0,b>0)的離心率,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離是
(Ⅰ)求雙曲線的方程及漸近線方程;
(Ⅱ)若直線y=kx+5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D,且兩點都在以A為圓心的同一個圓上,求k的值.

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