橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)、.記其上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為.
(1)求圓心在線段上,且與坐標(biāo)軸相切于橢圓焦點(diǎn)的圓的方程;
(2)在橢圓位于第一象限的弧上求一點(diǎn),使的面積最大.

(1)圓的方程為;
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為的面積最大.

解析試題分析:(1)先將橢圓的方程為,利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程,并求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),利用圓與坐標(biāo)軸相切于焦點(diǎn),且圓心在線段上,從而求出圓心的坐標(biāo)以及圓的半徑,進(jìn)而求出圓的方程;(2)法一是根據(jù)參數(shù)方程法假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),并計(jì)算出點(diǎn)到線段的距離和線段的長(zhǎng)度,然后以為底邊,的高計(jì)算的面積的代數(shù)式,并根據(jù)代數(shù)式求出的面積的最大值并確定點(diǎn)的坐標(biāo);法二是利用的面積取最大值時(shí),點(diǎn)處的切線與線段平行,將切線與橢圓的方程聯(lián)立,利用確定切線的方程,進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:(1)設(shè)橢圓的方程為,則有,解得,
故橢圓的方程為,故上頂點(diǎn),右頂點(diǎn),
則線段的方程為,即
由于圓與坐標(biāo)軸相切于橢圓的焦點(diǎn),且橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為
若圓與坐標(biāo)軸相切于點(diǎn),則圓心在直線上,此時(shí)直線與線段無(wú)交點(diǎn),
若圓與坐標(biāo)軸相切于點(diǎn),則圓心在直線上,聯(lián)立,解得
即圓的圓心坐標(biāo)為,半徑長(zhǎng)為,
故圓的方程為
(2)法一:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,
點(diǎn)到線段的距離 

,則,故,故,
,而,

故當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),的面積取到最大值為
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為;
法二:設(shè)與平行的直線為,
當(dāng)此直線與橢圓相切于第一象限時(shí),切點(diǎn)即所求點(diǎn),
得:
令①中,有:,
又直線過(guò)第一象限,故,解得,
此時(shí)由①有,
代入橢圓方程,取,解得.故.
考點(diǎn):1.橢圓的方程;2.圓的方程;3.三角形的面積

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖所示,已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),寫出曲線在點(diǎn)處的切線的方程;(不要求證明)
(3)直線過(guò)切點(diǎn)與直線垂直,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線恒過(guò)一定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo).

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已知橢圓、是其左右焦點(diǎn),離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn),為橢圓上動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線斜率為,且,求直線斜率的取值范圍;
(3)若為橢圓上動(dòng)點(diǎn),求的最小值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點(diǎn)為,且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓上,是否存在點(diǎn),使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),且的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,直線l的方程為: 
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)
①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;
②已知點(diǎn),求證:為定值

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在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).已知為等腰三角形.

(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),是直線上的點(diǎn),滿足,求點(diǎn)的軌跡
方程.

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(1)求拋物線的方程;
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.

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(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)射線與橢圓的交點(diǎn)為,過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于 兩點(diǎn)(兩點(diǎn)異于).求證:直線的斜率為定值.

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