已知橢圓C:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng) 時(shí),求實(shí)數(shù)取值范圍.

(1) ;(2).

解析試題分析:(1)先根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,求出圓的半徑即橢圓短半軸的長(zhǎng),然后由離心率求出的關(guān)系,進(jìn)而得到的值,寫出橢圓方程即可;(2)先設(shè)出直線方程,再由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,求得,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的方程,它的判別式大于零得到,然后由已知條件,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系求得,,從而解得,根據(jù)已知有以及點(diǎn)在橢圓上,先求出點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入橢圓方程可知,結(jié)合求解的,即可得到的解集.
試題解析:(1)由題意知,短半軸長(zhǎng)為:,
,∴
,∴,
故橢圓的方程為:.                         2分
(2)由題意知,直線的斜率存在,設(shè)直線,
設(shè),,
得,.
,解得.                  4分
.
,∴,
解得.
∵點(diǎn)在橢圓上,∴,
.                ..7分
,∴,

,
,∴                            10分

,∴,
,
∴實(shí)數(shù)取值范圍為.                         12分
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.點(diǎn)到直線的距離公式;3.方程的根與系數(shù)的關(guān)系;4.解不等式;5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓E:=1()過點(diǎn)M(2,), N(,1),為坐標(biāo)原點(diǎn)
(I)求橢圓E的方程;
(II)是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由。

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在直角坐標(biāo)系中,已知中心在原點(diǎn),離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過P作兩條斜率之積為的直線,當(dāng)直線都與圓相切時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓,、是其左右焦點(diǎn),離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn),為橢圓上動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線斜率為,且,求直線斜率的取值范圍;
(3)若為橢圓上動(dòng)點(diǎn),求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知點(diǎn)F是拋物線C:的焦點(diǎn),S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn),且|SF|=.

(Ⅰ)求點(diǎn)S的坐標(biāo);
(Ⅱ)以S為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)A、B,延長(zhǎng)SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點(diǎn);
①判斷直線MN的斜率是否為定值,并說明理由;
②延長(zhǎng)NM交軸于點(diǎn)E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.

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在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點(diǎn)為,且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓上,是否存在點(diǎn),使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),且的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,直線l的方程為: 
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)
①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;
②已知點(diǎn),求證:為定值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過的直線交拋物線兩點(diǎn),直線分別與直線相交于兩點(diǎn).

(1)求拋物線的方程;
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)且不垂直于軸直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.

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