Question

【題目】已知函數(shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對，使得恒成立，則稱為“函數(shù)”．

(1) 判斷函數(shù)是否是“函數(shù)”；

(2) 若是一個(gè)“函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；

(3) 若定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)是“函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(0,1)和(1,4)，當(dāng)x[0,1]時(shí)，的值域?yàn)?/span>[1,2]，求當(dāng)x[2016,2016]時(shí)函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)不是“函數(shù)”，函數(shù)是“函數(shù)”；

（2）；

（3）.

【解析】

(1) 根據(jù)題意,結(jié)合,代入即可檢驗(yàn)是否滿足條件.

(2) 根據(jù)定義,代入可得關(guān)于的方程.解方程即可求得滿足條件的有序?qū)崝?shù)對.

(3) 將所給的數(shù)對代入,可得函數(shù)的周期.根據(jù)歸納推理可得函數(shù)的值域.

(1) 若是“函數(shù)”,則存在常數(shù),使得

即時(shí),對恒成立．而最多有兩個(gè)解,矛盾

因此不是“函數(shù)”

若是“函數(shù)”,則存在常數(shù)使得

即存在常數(shù)對滿足條件．因此是“函數(shù)”；

(2) 是一個(gè)“函數(shù)”,有序?qū)崝?shù)對滿足恒成立,

當(dāng)時(shí),,不是常數(shù)

∴

當(dāng)時(shí),有恒成立

即恒成立．

則,

當(dāng),時(shí),成立．

因此滿足是一個(gè)“函數(shù)”,．

(3) 函數(shù)是“函數(shù)”,且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和,

于是,．

x[1,2]時(shí)x[0,1],f(2x)[1,2],,

∴x[0,2]時(shí),,

,

x[2,4]時(shí),f(x)[4,16],

x[4,6]時(shí),f(x)[16,64],

以此類推可知：x[2k,2k2]時(shí),f(x)[22k,22k2]

x[2014,2016]時(shí),f(x)[22014,22016],

因此時(shí)，

時(shí)，

綜上可知當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?/span>．