Question

【題目】已知函數(shù)，其中，，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若，且當(dāng)時(shí)，總成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：

Answer 1

【答案】(1) ；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由已知可得 ，只需對(duì)與0的大小關(guān)系分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最小值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)根據(jù)，是的根，可得與的關(guān)系及其范圍，進(jìn)而可將用含有的式子表示，構(gòu)造函數(shù)即可證出.

(1)若，則，

所以，

因?yàn)?/span>，，

所以當(dāng)，即時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；

當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，不符合題意，

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

(2) 若，則，

所以，

因?yàn)?/span>存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以，

令，得，

所以是方程的兩個(gè)根，

所以，，且，，

不妨設(shè)，則，

所以

，

令，

所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

所以，又，

所以.