Question

已知圓N:（x+2）²+y²=8和拋物線C: y²= 2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（I）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；
（II）設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，問(wèn)是否存在直線l，使得?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1） .（2）.

(I)直線l的方程為y=x+m,根據(jù)直線l與圓相切，求出m值，然后再與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出AB的值。
（II）由于點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，從而可求出M的坐標(biāo)，然后利用,把此條件用坐標(biāo)表示出來(lái)，借助韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程，求出k值，再驗(yàn)證是否滿足判別式大于零
因?yàn)閳AN：，所以圓心N為（-2,0），半徑，
………1分
設(shè)，，
（1）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，設(shè)的方程為即，因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以，解得或（舍去）
此時(shí)直線的方程為， ………………3分
由 消去得，所以，，，

所以弦長(zhǎng) .……………………6分
（2）①設(shè)直線的方程為即（），
因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以，
得 ①………………8分
由 消去得 ，
所以即且， ，.
因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)M為
所以，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220901248588.png" style="vertical-align:middle;" />，所以+ ，……9分
將A，B在直線上代入化簡(jiǎn)得，
.
代入，得  
化簡(jiǎn)得      ………②
①+②得
即，解得或 
當(dāng)時(shí)，代入①解得，滿足條件且，
此時(shí)直線的方程為；
當(dāng)時(shí)，代入①整理得 ，無(wú)解.………………11分
②               當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以的方程為，則得，，
即
由①得：
=
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不成立.
綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.