Question

【題目】如圖，矩形中， ， ，點是上的動點．現將矩形沿著對角線折成二面角，使得．

（Ⅰ）求證：當時， ；

（Ⅱ）試求的長，使得二面角的大小為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由余弦定理求得，進而得，所以有，即，同理可在中，得，進而得平面，從而得證；

（Ⅱ）易證得兩兩垂直，以為原點， 的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，進而求得面和面的法向量，利用法向量求解即可.

試題解析：

解:（Ⅰ）連結， ．

在矩形中， ,

, ．

在中，∵,

，

∵，

，即．

又在中，

，

∴在中， ,

,

又,

∴平面．

∴．

（Ⅱ）解：在矩形中，過作于，并延長交于. 沿著對角線翻折后，

由（Ⅰ）可知， 兩兩垂直，

以為原點， 的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則

,

平面,

為平面的一個法向量．

設平面的法向量為

， ,

由得

取則 , ．

即,

．

當時，二面角的大小是．