【題目】如圖，在三棱臺(tái)中， ， 分別是， 的中點(diǎn)， 平面, 是等邊三角形， , ,.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】(1)見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)和三角形的中位線可以得到，從而得到平面.在梯形中， （為棱的中點(diǎn)），所以平面，從而可以證明平面平面，也就能得到平面.（2）以所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算平面和平面的法向量的夾角得到二面角的正弦值為.

解析：（1）證明：因?yàn)?/span>, 為棱的中點(diǎn)，所以,所以四邊形為平行四邊形，從而.又平面,平面,所以平面. 因?yàn)?/span>是的中位線,所以,同理可證, 平面.因?yàn)?/span>,所以平面平面. 又平面,所以平面.

（2）以所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量,則 即

取，得.

同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量，又,

由，得取，得.所以，即二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)某市地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究的數(shù)據(jù)顯示，2016年該市新建住宅銷售均價(jià)走勢如下圖所示，為抑制房價(jià)過快上漲，政府從8月采取宏觀調(diào)控措施，10月份開始房價(jià)得到很好的抑制.

（1）地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院發(fā)現(xiàn)，3月至7月的各月均價(jià)（萬元/平方米）與月份之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；政府若不調(diào)控，依此相關(guān)關(guān)系預(yù)測第12月份該市新建住宅銷售均價(jià)；

（2）地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院在2016年的12個(gè)月份中，隨機(jī)抽取三個(gè)月的數(shù)據(jù)作樣本分析，若關(guān)注所抽三個(gè)月份的所屬季度，記不同季度的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)： ， ， ；

回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知．

（1）若關(guān)于的方程在上恒成立，求的值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（Ⅱ）若有2個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）對(duì)，求證： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(14分)在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱臺(tái)中， ， 分別是， 的中點(diǎn)， 平面, 是等邊三角形， , ,.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)， 的軌跡為曲線.

（1）寫出的普遍方程及參數(shù)方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為， 為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形中， ， ，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將矩形沿著對(duì)角線折成二面角，使得．

（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅱ）試求的長，使得二面角的大小為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.

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