Question

【題目】（A）設函數， .

（1）證明：函數在上為增函數；

（2）若方程有且只有兩個不同的實數根，求實數的值.

（B）已知函數.

（1）求函數的最小值；

（2）若存在唯一實數，使得成立，求實數的值.

Answer 1

【答案】（A）（1）詳見解析; （2）.（B）（1）;（2）.

【解析】試題分析：（A）（1）計算函數的導數并因式分解，證明因式分解后每個因子都是正數，由此判斷原函數在上為增函數.（2）利用導數求得函數的單調區(qū)間，求得函數的極大值和極小值，要使有兩個不同的實數根，則需極大值等于，由此列方程可求得的值.（B）（1）利用導數求得函數的單調區(qū)間和極值，比較兩個極值點的函數值，由此判斷出是函數的最小值.（2）注意到方程的判別式大于零，有兩個不同的實數根，若存在唯一實數，使得成立，由（1）得，即，解得.

試題解析：

（A）證明：（1）的定義域為， ，

當時，由， ，得，所以，則有函數在上為增函數.

（2）令，得或.

列表如下：

				0
	正	0	負	0	正
	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

則當時，函數有極大值，

當時，函數有極小值，

又時， ， 時， ， 時， ，

因為方程，即有且只有兩個不同的實數根，

所以，解得（負根舍去）.

（B）（1）的定義域為，

，

令，得或，

列表如下：

				1
	正	0	負	0	正
	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

則函數在， 上為增函數，在上為減函數；

當時， ，所以當時， ，又，

所以時，函數有最小值.

（2）對于，有，則函數有兩個不同的零點，

若存在唯一實數，使得成立，由（1）得，即，解得.