Question

【題目】如圖，過(guò)點(diǎn)E（1，0）的直線(xiàn)與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C（2，0）且與AB垂直的直線(xiàn)與圓O的另一交點(diǎn)為D．
（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣2）時(shí)，求直線(xiàn)CD的方程；
（2）求四邊形ABCD面積S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)B（0，﹣2）時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為 ，

∵CD與AB垂直，∴直線(xiàn)CD的斜率為﹣ ，

∴直線(xiàn)CD的方程為y=﹣ （x﹣2），即x+2y﹣2=0．

（2）解：當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí)，AB=2 ，CD=4，

∴四邊形ACBD的面積S= ，

當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB方程為y=k（x﹣1），

即kx﹣y﹣k=0，

則直線(xiàn)CD方程為y=﹣ ，即x+ky﹣2=0，

點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為 ，

∴AB=2 =2 ，

CD=2 =4 ，

則四邊形ACBD面積S= = =4 ，

令k2+1=t＞1（當(dāng)k=0時(shí)，四邊形ACBD不存在），

∴ =4 ∈（0，4 ），

∴四邊形ABCD面積S的最大值為4 ．

【解析】（1）當(dāng)B（0，﹣2）時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為2，由CD與AB垂直，直線(xiàn)CD的斜率為﹣ ，由此能求出直線(xiàn)CD的方程．（2）當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí)，AB=2 ，CD=4，四邊形ACBD的面積，當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB方程為kx﹣y﹣k=0，則直線(xiàn)CD方程為x+ky﹣2=0，求出點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離，從而得到弦長(zhǎng)AB和CD，由此利用配方法能求出四邊形ACBD面積的最大值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系(直線(xiàn)與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)；圓與直線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn))．